数学建模常见的一些方法
TOPSIS法
（Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution）
- 可翻译为逼近理想解排序法，国内常简称为优劣解距离法
- TOPSIS 法是一种常用的综合评价方法，其能充分利用原始数据的信息，其结果能精确地反映各评价方案之间的差距。
TOPSIS的介绍
C.L.Hwang 和 K.Yoon 于1981年首次提出 TOPSIS (Technique forOrder Preference by Similarity to an Ideal Solution)，可翻译为逼近理想解排序法，国内常简称为优劣解距离法.。 TOPSIS 法是一种常用的综合评价方法，能充分利用原始数据的信息，其结果能精确地反映各评价方案之间的差距。 基本过程为先将原始数据矩阵统一指标类型（一般正向化处理）得到正向化的矩阵，再对正向化的矩阵进行标准化处理以消除各指标量纲的影响，并找到有限方案中的最优方案和最劣方案，然后分别计算各评价对象与最优方案和最劣方案间的距离，获得各评价对象与最优方案的相对接近程度，以此作为评价优劣的依据。该方法对数据分布及样本含量没有严格限制，数据计算简单易行。
优劣解距离法操作步骤
1. 将原始矩阵正向化
| 指标名称 | 指标特 |例子| |–|–|–| | 极大型（效益型）指标 | 越大（多）越好 | 成绩、GDP增速、企业利润 | | 极小型（成本型）指标 |越小（少）越好 | 费用、坏品率、污染程度 | | 中间型指标 |越接近某个值越好 | 水质量评估时的PH值 | | 区间型指标 | 落在某个区间最好 | 体温、水中植物性营养物量 |
- 所谓的将原始矩阵正向化，就是要将所有的指标类型统一转化为极大型指标。
1.1 极小型指标 → 极大型指标
1.2 中间型指标 → 极大型指标
1.3 区间型指标 → 极大型指标
2. 正向化矩阵标准化
具体计算过程看后部分3. 计算得分并归一化
具体计算过程看后部分
标准化处理公式
>> X = [89,1;60,3;74,2;99,0]
>> [n,m]=size(X)
>> X ./ repmat(sum(X .* X) .^0.5, n,1)
>> X = [89,1;60,3;74,2;99,0]
X =
89 1
60 3
74 2
99 0
>> [n,m]=size(X)
n = 4
m = 2
>> sum(X .* X)
ans = 26798 14
>> sum(X .* X) .^0.5
ans = 163.7009 3.7417
>> repmat(sum(X .* X) .^0.5, n,1)
ans =
163.7009 3.7417
163.7009 3.7417
163.7009 3.7417
163.7009 3.7417
>> X ./ repmat(sum(X .* X) .^0.5, n,1)
ans =
0.5437 0.2673
0.3665 0.8018
0.4520 0.5345
0.6048 0
类比只有一个指标计算得分
>> X = [89,1;60,3;74,2;99,0]
>> [n,m]=size(X)
>> Z = X ./ repmat(sum(X .* X) .^0.5, n,1)
>> D_P = sum([(Z - repmat(max(Z),n,1)).^2 ],2) .^ 0.5 %D+向量
>> D_N = sum([(Z - repmat(min(Z),n,1)).^2 ],2) .^ 0.5 %D-向量
>> A = D_N ./ (D_P + D_N) % 未归一化的得分
>> A ./ repmat(sum(A),n,1) % 归一化的得分
>> max(Z)
ans = 0.6048 0.8018
>> min(Z)
ans = 0.3665 0
>> repmat(max(Z),n,1)
ans =
0.6048 0.8018
0.6048 0.8018
0.6048 0.8018
0.6048 0.8018
>> repmat(min(Z),n,1)
ans =
0.3665 0
0.3665 0
0.3665 0
0.3665 0
>> (Z - repmat(max(Z),n,1)).^2
ans =
0.0037 0.2857
0.0568 0
0.0233 0.0714
0 0.6429
>> (Z - repmat(min(Z),n,1)).^2
ans =
0.0314 0.0714
0 0.6429
0.0073 0.2857
0.0568 0
>> sum([(Z - repmat(max(Z),n,1)).^2 ],2)
ans =
0.2894
0.0568
0.0948
0.6429
>> sum([(Z - repmat(min(Z),n,1)).^2 ],2)
ans =
0.1028
0.6429
0.2930
0.0568
>> D_P = sum([(Z - repmat(max(Z),n,1)).^2 ],2) .^ 0.5
D_P =
0.5380
0.2382
0.3078
0.8018
>> D_N = sum([(Z - repmat(min(Z),n,1)).^2 ],2) .^ 0.5
D_N =
0.3206
0.8018
0.5413
0.2382
>> A = D_N ./ (D_P + D_N) % 未归一化的得分
A =
0.3734
0.7709
0.6375
0.2291
>> A ./ repmat(sum(A),n,1) % 归一化的得分
ans =
0.1857
0.3834
0.3170
0.1139